Géométrie dans l’espace — Terminale spé maths

Fiche G1

Vecteurs de l’espace

Manipuler les vecteurs dans l’espace comme dans le plan, et exprimer un vecteur comme combinaison linéaire d’autres.

Programme : vecteurs de l’espace, translations · combinaisons linéaires · représenter et exploiter une figure

L’essentiel

Vecteurs de l’espace

Les notions du plan s’étendent à l’espace : un vecteur $\overrightarrow{AB}$ est associé à la translation qui envoie $A$ sur $B$ ; on a la relation de Chasles $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ et la règle du parallélogramme : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$ si $ABCD$ est un parallélogramme.

Combinaison linéaire, colinéarité

Un vecteur de la forme $a\vec u + b\vec v + c\vec w$ ($a,b,c$ réels) est une combinaison linéaire de $\vec u$, $\vec v$, $\vec w$.
$\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires s’il existe un réel $k$ tel que $\vec v = k\vec u$ (ou si $\vec u = \vec 0$).

Le cube $ABCDEFGH$

$ABCD$ est la face du bas, $EFGH$ celle du haut, avec $E$ au-dessus de $A$, $F$ au-dessus de $B$, etc. Dans tout cube, $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{CG} = \overrightarrow{DH}$ et $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{HG}$.

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Méthode

Exprimer $\overrightarrow{AG}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{AE}$

Chasles en suivant les arêtes : $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CG}$. Or $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{CG} = \overrightarrow{AE}$, donc $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$. Vérifie avec les curseurs $a = b = c = 1$.

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Fiche G2

Droites et plans : positions relatives

Caractériser droites et plans par des vecteurs, et reconnaître toutes les positions relatives possibles.

Programme : droites et plans de l’espace, vecteurs directeurs, direction d’un plan · décrire la position relative de deux droites, d’une droite et d’un plan, de deux plans

L’essentiel

Droite

La droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec u\neq\vec0$ est l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}$ et $\vec u$ sont colinéaires.

Plan

Le plan passant par $A$ et dirigé par $\vec u$, $\vec v$ non colinéaires est l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM} = x\vec u + y\vec v$. Le couple $(\vec u,\vec v)$ donne sa direction.

Deux droites	Une droite et un plan	Deux plans
coplanaires : sécantes (un point) ou parallèles ou non coplanaires (ni sécantes, ni parallèles)	sécants (un point) ou parallèles : strictement, ou droite incluse dans le plan	sécants (selon une droite) ou parallèles : strictement, ou confondus

Caractérisations

Une droite est parallèle à un plan si et seulement si un vecteur directeur de la droite est combinaison linéaire de deux vecteurs directeurs du plan.
Deux plans sont parallèles si et seulement s’ils ont la même direction.

Piège

Deux droites qui ne se coupent pas ne sont pas forcément parallèles : dans un cube, $(AB)$ et $(CG)$ ne se coupent pas et ne sont pas parallèles. Elles sont non coplanaires.

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Fiche G3

Bases, repères et coordonnées

Repérer points et vecteurs par trois coordonnées, et traduire colinéarité et coplanarité par des calculs.

Programme : bases et repères de l’espace · décomposition d’un vecteur sur une base · traduire par un système des problèmes de colinéarité, coplanarité

L’essentiel

Base et repère

Trois vecteurs $\vec u$, $\vec v$, $\vec w$ non coplanaires forment une base : tout vecteur $\vec t$ s’écrit de façon unique $\vec t = x\vec u + y\vec v + z\vec w$. Avec un point origine $O$, $(O;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$ est un repère, et $M$ a pour coordonnées $(x\,;y\,;z)$ quand $\overrightarrow{OM} = x\vec\imath + y\vec\jmath + z\vec k$.

Formules

$\overrightarrow{AB}\,(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A\,;\,z_B - z_A)$ $\qquad$ milieu $I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\dfrac{y_A+y_B}{2}\,;\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)$
$\vec u$ et $\vec v$ colinéaires $\iff$ leurs coordonnées sont proportionnelles.

Méthode : trois vecteurs coplanaires ?

Si $\vec u$ et $\vec v$ ne sont pas colinéaires, $\vec u$, $\vec v$, $\vec w$ sont coplanaires si et seulement s’il existe $a$, $b$ tels que $\vec w = a\vec u + b\vec v$. On écrit le système de trois équations à deux inconnues : on résout avec deux équations, puis on vérifie la troisième. Si elle est fausse, les trois vecteurs forment une base.

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Fiche G4

Produit scalaire et orthogonalité

Calculer un produit scalaire en coordonnées et s’en servir pour prouver une orthogonalité ou calculer un angle, une longueur.

Programme : produit scalaire dans l’espace, bilinéarité, symétrie · base orthonormée · expressions du produit scalaire, de la norme, de la distance · orthogonalité de deux droites, d’une droite et d’un plan

L’essentiel

Définition

En base orthonormée

Si $\vec u\,(x\,;y\,;z)$ et $\vec v\,(x'\,;y'\,;z')$ : $\quad\vec u\cdot\vec v = xx' + yy' + zz'$, $\quad\|\vec u\| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$,
et $AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}$.

Orthogonalité

$\vec u \perp \vec v \iff \vec u\cdot\vec v = 0$.
Deux droites sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs le sont (elles ne se coupent pas forcément !).
Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

Plan médiateur

L’ensemble des points équidistants de $A$ et $B$ est le plan passant par le milieu de $[AB]$ et orthogonal à $(AB)$.

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Fiche G5

Représentation paramétrique d’une droite

Décrire tous les points d’une droite avec un seul nombre, le paramètre $t$.

Programme : représentation paramétrique d’une droite · déterminer, reconnaître une droite donnée par une représentation paramétrique

L’essentiel

Représentation paramétrique

Dans un repère, la droite $d$ passant par $A(x_A\,;y_A\,;z_A)$ et dirigée par $\vec u\,(a\,;b\,;c)$ est l’ensemble des points $M(x\,;y\,;z)$ tels que $\overrightarrow{AM} = t\,\vec u$ pour un réel $t$, c’est-à-dire : $$\begin{cases} x = x_A + t\,a\\ y = y_A + t\,b\\ z = z_A + t\,c\end{cases}\qquad t\in\mathbb R$$

Pas unique

Changer de point $A$ sur la droite ou remplacer $\vec u$ par un vecteur colinéaire donne une autre représentation de la même droite.

Un point est-il sur la droite ?

On cherche $t$ avec une équation, puis on vérifie les deux autres avec ce même $t$. Pour l’intersection de deux droites, on prend deux paramètres différents ($t$ et $s$).

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Fiche G6

Vecteur normal et équation cartésienne d’un plan

Décrire un plan par une seule équation $ax+by+cz+d = 0$ grâce à un vecteur qui lui est perpendiculaire.

Programme : vecteur normal à un plan · équation cartésienne d’un plan · démonstration exigible : équation cartésienne du plan normal à $\vec n$ passant par $A$

L’essentiel

Vecteur normal

Un vecteur $\vec n$ non nul est normal au plan $\mathcal P$ s’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de $\mathcal P$ (il est alors orthogonal à tous les vecteurs du plan).

Théorème (repère orthonormé)

Le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\vec n\,(a\,;b\,;c)$ a une équation de la forme $ax + by + cz + d = 0$.
Réciproquement, si $(a\,;b\,;c)\neq(0\,;0\,;0)$, l’ensemble des points vérifiant $ax+by+cz+d=0$ est un plan de vecteur normal $\vec n\,(a\,;b\,;c)$.

Lire les positions relatives

Plans parallèles $\iff$ vecteurs normaux colinéaires.
Plans perpendiculaires $\iff$ vecteurs normaux orthogonaux.
Droite $\perp$ plan $\iff$ $\vec u$ colinéaire à $\vec n$.
Droite parallèle au plan $\iff$ $\vec u\cdot\vec n = 0$.

Plans à connaître

$z = 0$ : plan $(xOy)$. $\;x = 2$ : plan parallèle à $(yOz)$. $\;y = z$ : plan qui contient l’axe $(Ox)$.

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Équation cartésienne d’un plan Démonstration au programme

Sens direct. Soit $\mathcal P$ le plan passant par $A(x_A\,;y_A\,;z_A)$ de vecteur normal $\vec n\,(a\,;b\,;c)$. Un point $M(x\,;y\,;z)$ appartient à $\mathcal P$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ est orthogonal à $\vec n$ : $$M\in\mathcal P \iff \overrightarrow{AM}\cdot\vec n = 0 \iff a(x - x_A) + b(y-y_A) + c(z-z_A) = 0 \iff ax+by+cz+d = 0$$ avec $d = -(a x_A + b y_A + c z_A)$.

Réciproque. Supposons par exemple $a \neq 0$, et considérons $A\left(-\frac da\,;0\,;0\right)$ qui vérifie l’équation. Pour tout point $M(x\,;y\,;z)$ : $ax+by+cz+d = a\left(x+\frac da\right) + by + cz = \vec n\cdot\overrightarrow{AM}$. L’équation équivaut donc à $\overrightarrow{AM}\perp\vec n$ : c’est le plan passant par $A$ de vecteur normal $\vec n$.

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Fiche G7

Intersections par le calcul

Trouver où une droite perce un plan, et décider par le calcul de la position de deux plans.

Programme : traduire par un système d’équations linéaires l’étude d’une configuration (intersection et orthogonalité de droites ou de plans), résoudre et interpréter

L’essentiel

Droite et plan

On remplace $x$, $y$, $z$ de la représentation paramétrique de la droite dans l’équation du plan. On obtient une équation en $t$ :

une seule solution $t_0$ : droite et plan sécants, en le point de paramètre $t_0$ ;
aucune solution (du type $0 = 5$) : strictement parallèles ;
tout $t$ convient (du type $0 = 0$) : la droite est incluse dans le plan.

Deux plans

Vecteurs normaux colinéaires : plans parallèles (confondus si les équations sont proportionnelles). Sinon, plans sécants selon une droite.

Exemple

$d : x = 1+t,\ y = 2t,\ z = 3 - t$ et $\mathcal P : x + y + z - 7 = 0$. On obtient $(1+t) + 2t + (3-t) - 7 = 0$, soit $2t - 3 = 0$, $t = \frac32$ : le point d’intersection est $I\left(\frac52\,;3\,;\frac32\right)$.

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Fiche G8

Projeté orthogonal et distances

Trouver le point d’un plan (ou d’une droite) le plus proche d’un point donné, et en déduire une distance.

Programme : projeté orthogonal d’un point sur une droite, sur un plan · distance d’un point à une droite ou à un plan · démonstration exigible : le projeté orthogonal de $M$ sur $\mathcal P$ est le point de $\mathcal P$ le plus proche de $M$

L’essentiel

Projeté orthogonal

Le projeté orthogonal de $M$ sur le plan $\mathcal P$ est le point $H$ de $\mathcal P$ tel que $\overrightarrow{MH}$ est normal à $\mathcal P$. Sur une droite $d$ : le point $H$ de $d$ tel que $(MH)\perp d$.

Distance

$H$ est le point de $\mathcal P$ le plus proche de $M$. La distance de $M$ au plan est $MH$.

Projeté sur un plan $ax+by+cz+d=0$

On écrit la droite passant par $M$ dirigée par $\vec n\,(a\,;b\,;c)$, puis on cherche son intersection avec le plan (fiche G7).

Projeté sur une droite $(A,\vec u)$

$H = A + t\vec u$ avec $\overrightarrow{MH}\cdot\vec u = 0$, ce qui donne $t = \dfrac{\overrightarrow{AM}\cdot\vec u}{\|\vec u\|^2}$.

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Le projeté orthogonal est le point le plus proche Démonstration au programme

Soit $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur $\mathcal P$, et $N$ un point quelconque de $\mathcal P$.

$\overrightarrow{HN}$ est un vecteur du plan et $\overrightarrow{MH}$ est normal au plan, donc $\overrightarrow{MH}\cdot\overrightarrow{HN} = 0$. Alors $$MN^2 = \|\overrightarrow{MH} + \overrightarrow{HN}\|^2 = MH^2 + 2\,\overrightarrow{MH}\cdot\overrightarrow{HN} + HN^2 = MH^2 + HN^2 \geqslant MH^2.$$

Donc $MN \geqslant MH$, avec égalité seulement si $HN = 0$, c’est-à-dire $N = H$. C’est le théorème de Pythagore dans le triangle $MHN$ : déplace $N$ dans l’animation pour le voir.