Le raisonnement par récurrence
Prouver qu’une propriété est vraie pour tous les entiers à partir d’un rang, en ne vérifiant que deux choses.
Programme : « Raisonner par récurrence pour établir une propriété d’une suite » · démonstration exigible : inégalité de Bernoulli
L’essentiel
- Initialisation : $\mathcal P(n_0)$ est vraie ;
- Hérédité : pour tout entier $n \geqslant n_0$, si $\mathcal P(n)$ est vraie, alors $\mathcal P(n+1)$ est vraie.
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Méthode : rédiger une récurrence
- Nommer la propriété. Pour $n\in\mathbb N$, on note $\mathcal P(n)$ : « $u_n = 2^n+3$ ».
- Initialisation. $2^0 + 3 = 4 = u_0$, donc $\mathcal P(0)$ est vraie.
- Hérédité. Soit $n \in \mathbb N$ tel que $\mathcal P(n)$ est vraie, c’est-à-dire $u_n = 2^n+3$. Alors $u_{n+1} = 2u_n - 3 = 2(2^n+3) - 3 = 2^{n+1} + 3$. Donc $\mathcal P(n+1)$ est vraie.
- Conclusion. Par récurrence, pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n = 2^n+3$.
Inégalité de Bernoulli Démonstration au programme
Énoncé. Soit $a$ un réel positif. Pour tout entier naturel $n$ : $\;(1+a)^n \geqslant 1 + na$.
Initialisation. Pour $n = 0$ : $(1+a)^0 = 1$ et $1 + 0\times a = 1$. L’inégalité $1 \geqslant 1$ est vraie.
Hérédité. Soit $n\in\mathbb N$ tel que $(1+a)^n \geqslant 1+na$. Comme $1 + a > 0$, on peut multiplier les deux membres par $1+a$ sans changer le sens : $$(1+a)^{n+1} \geqslant (1+na)(1+a) = 1 + (n+1)a + na^2 \geqslant 1 + (n+1)a \quad\text{car } na^2 \geqslant 0.$$
Conclusion. Pour tout $n\in\mathbb N$, $(1+a)^n \geqslant 1 + na$. Elle sert dans la fiche S5 pour trouver la limite de $q^n$.
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Limite d’une suite : les définitions
Comprendre ce que veut dire « $u_n$ tend vers $\ell$ » ou « $u_n$ tend vers $+\infty$ », et savoir chercher un seuil.
Programme : limite finie ou infinie d’une suite · algorithme : recherche de seuils
L’essentiel
De même, $(u_n)$ tend vers $-\infty$ si tout intervalle $]-\infty\,;A]$ contient tous les $u_n$ à partir d’un certain rang.
$\displaystyle\lim \frac1n = \lim \frac1{n^2} = \lim\frac1{n^k} = \lim \frac1{\sqrt n} = 0$
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Méthode : l’algorithme de seuil
Quand $(u_n)$ tend vers $+\infty$, on sait qu’elle finit par dépasser n’importe quel nombre $A$. Pour trouver le premier rang où cela arrive, on calcule les termes un par un tant que le seuil n’est pas franchi.
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Opérations sur les limites
Calculer la limite d’une somme, d’un produit, d’un quotient… et repérer les quatre formes indéterminées.
Programme : opérations sur les limites · capacité : factoriser le terme prépondérant
L’essentiel
$\ell$ et $\ell'$ désignent des réels. « FI » signifie forme indéterminée : on ne peut pas conclure directement, il faut transformer l’écriture.
| Somme $u_n + v_n$ | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\lim u_n$ | $\ell$ | $\ell$ | $\ell$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ |
| $\lim v_n$ | $\ell'$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ |
| $\lim (u_n+v_n)$ | $\ell+\ell'$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | FI |
| Produit $u_n \times v_n$ | ||||
|---|---|---|---|---|
| $\lim u_n$ | $\ell$ | $\ell \neq 0$ | $\infty$ | $0$ |
| $\lim v_n$ | $\ell'$ | $\infty$ | $\infty$ | $\infty$ |
| $\lim (u_n v_n)$ | $\ell\ell'$ | $\infty$ (règle des signes) | $\infty$ (règle des signes) | FI |
| Quotient $\dfrac{u_n}{v_n}$ | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\lim u_n$ | $\ell$ | $\ell$ | $\ell\neq0$ ou $\infty$ | $\infty$ | $0$ | $\infty$ |
| $\lim v_n$ | $\ell'\neq 0$ | $\infty$ | $0$ (signe constant) | $\ell'$ | $0$ | $\infty$ |
| $\lim \frac{u_n}{v_n}$ | $\frac{\ell}{\ell'}$ | $0$ | $\infty$ (règle des signes) | $\infty$ (règle des signes) | FI | FI |
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Méthode : lever une indétermination
On factorise par le terme de plus haut degré : $u_n = n^2\left(1 - \frac3n + \frac1{n^2}\right)$.
La parenthèse tend vers $1$ et $n^2 \to +\infty$, donc $u_n\to+\infty$.
On factorise en haut et en bas : $u_n = \dfrac{n^2(2+\frac1{n^2})}{n^2(5-\frac1n)} = \dfrac{2+\frac1{n^2}}{5-\frac1n}$, donc $u_n \to \dfrac25$.
$u_n = \dfrac{(\sqrt{n+1}-\sqrt n)(\sqrt{n+1}+\sqrt n)}{\sqrt{n+1}+\sqrt n} = \dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}$, donc $u_n \to 0$.
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Comparaison et théorème des gendarmes
Trouver une limite sans la calculer directement, en coinçant la suite entre d’autres suites plus simples.
Programme : limites et comparaison, théorème des gendarmes · démonstration exigible : divergence vers $+\infty$ d’une suite minorée par une suite qui diverge vers $+\infty$
L’essentiel
- Si, à partir d’un certain rang, $u_n \geqslant v_n$ et si $\lim v_n = +\infty$, alors $\lim u_n = +\infty$.
- Si, à partir d’un certain rang, $u_n \leqslant w_n$ et si $\lim w_n = -\infty$, alors $\lim u_n = -\infty$.
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Une suite minorée par une suite qui tend vers $+\infty$ tend vers $+\infty$ Démonstration au programme
Hypothèses. À partir d’un rang $N_1$, $u_n \geqslant v_n$, et $\lim v_n = +\infty$.
Soit $A$ un réel quelconque. Comme $v_n \to +\infty$, l’intervalle $[A\,;+\infty[$ contient tous les $v_n$ à partir d’un certain rang $N_2$.
Pour tout $n \geqslant \max(N_1, N_2)$, on a à la fois $u_n \geqslant v_n$ et $v_n \geqslant A$, donc $u_n \geqslant A$.
Ainsi, l’intervalle $[A\,;+\infty[$ contient tous les $u_n$ à partir du rang $\max(N_1,N_2)$. C’est vrai pour tout $A$ : par définition, $\lim u_n = +\infty$.
Méthode
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Suites géométriques : limite de $q^n$
Savoir d’un coup d’œil si $q^n$ explose, s’écrase vers $0$ ou n’a pas de limite, et l’appliquer aux sommes géométriques.
Programme : comportement d’une suite géométrique $(q^n)$ · démonstration exigible : limite de $(q^n)$, après l’inégalité de Bernoulli
L’essentiel
| $q \leqslant -1$ | $-1 < q < 1$ | $q = 1$ | $q > 1$ |
|---|---|---|---|
| pas de limite | $\lim q^n = 0$ | $\lim q^n = 1$ | $\lim q^n = +\infty$ |
Si $-1
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Limite de $q^n$ Démonstration au programme
Cas $q > 1$. Posons $a = q - 1 > 0$. Par l’inégalité de Bernoulli (fiche S1) : $q^n = (1+a)^n \geqslant 1 + na$. Or $\lim (1+na) = +\infty$ car $a > 0$. Par comparaison (fiche S4), $\lim q^n = +\infty$.
Cas $-1 < q < 1$. Si $q = 0$, c’est immédiat. Sinon, $\frac1{|q|} > 1$, donc $\left(\frac1{|q|}\right)^n \to +\infty$ d’après le premier cas, et $|q|^n = \dfrac{1}{\left(\frac{1}{|q|}\right)^n} \to 0$. Comme $-|q|^n \leqslant q^n \leqslant |q|^n$, les gendarmes donnent $\lim q^n = 0$.
Cas $q = 1$. La suite est constante égale à $1$.
Cas $q \leqslant -1$. Les termes de rang pair $q^{2n} = (q^2)^n$ sont $\geqslant 1$ et ceux de rang impair sont $\leqslant -1$ : la suite ne peut s’approcher d’aucune limite, finie ou infinie.
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Convergence monotone et suites récurrentes
Prouver qu’une suite converge sans connaître sa limite, puis trouver cette limite grâce à la relation $u_{n+1} = f(u_n)$.
Programme : théorème admis : toute suite croissante majorée (ou décroissante minorée) converge · démonstration exigible : toute suite croissante non majorée tend vers $+\infty$
L’essentiel
- Toute suite croissante et majorée converge.
- Toute suite décroissante et minorée converge.
Donc $u_n = \ell + (u_0-\ell)\,a^n$, et si $-1 < a < 1$, $\lim u_n = \ell$.
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Toute suite croissante non majorée tend vers $+\infty$ Démonstration au programme
Soit $(u_n)$ croissante et non majorée, et soit $A$ un réel.
$A$ n’est pas un majorant de la suite : il existe donc un rang $N$ tel que $u_N > A$.
La suite est croissante : pour tout $n \geqslant N$, $u_n \geqslant u_N > A$.
L’intervalle $[A\,;+\infty[$ contient donc tous les termes à partir du rang $N$. C’est vrai pour tout réel $A$ : $\lim u_n = +\infty$.
Méthode : l’exercice type du bac
- Encadrer et étudier le sens de variation par récurrence. On montre $\mathcal P(n)$ : « $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 2$ ». Initialisation : $u_0 = 0$, $u_1 = \sqrt2 \approx 1{,}41$ ; on a bien $0\leqslant 0\leqslant \sqrt2\leqslant 2$. Hérédité : si $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 2$, alors $2 \leqslant u_n + 2 \leqslant u_{n+1}+2 \leqslant 4$, et comme la racine carrée est croissante, $\sqrt2 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 2$, donc $0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant 2$.
- Conclure à la convergence. $(u_n)$ est croissante et majorée par $2$ : elle converge vers un réel $\ell$ (théorème de convergence monotone).
- Trouver la limite. $f : x\mapsto \sqrt{x+2}$ est continue, donc $\ell = \sqrt{\ell + 2}$, d’où $\ell^2 = \ell + 2$, soit $\ell^2 - \ell - 2 = 0$ : $\ell = 2$ ou $\ell = -1$. Comme $u_n \geqslant 0$, $\ell \geqslant 0$, donc $\ell = 2$.