Limites de fonctions — Terminale spé maths

Fiche L1

Limite en l’infini, asymptote horizontale

Comprendre « $f(x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $+\infty$ » et le lien avec une asymptote horizontale.

Programme : limite finie ou infinie d’une fonction en $+\infty$, en $-\infty$ · asymptote parallèle à un axe

L’essentiel

Limite finie en $+\infty$

$f(x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $+\infty$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand. On note $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = \ell$.

Limite infinie en $+\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$ si tout intervalle $[A\,;+\infty[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand. Définitions analogues en $-\infty$ et pour la limite $-\infty$.

Asymptote horizontale

Si $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = \ell$ (ou en $-\infty$), la droite d’équation $y = \ell$ est asymptote horizontale à la courbe de $f$ en $+\infty$ (ou en $-\infty$) : la courbe s’en rapproche autant qu’on veut.

Idée reçue

Une courbe peut couper son asymptote, même une infinité de fois : essaie $1 + \frac{\sin x}{x}$ ci-dessous.

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Fiche L2

Limite en un réel, asymptote verticale

Étudier $f(x)$ quand $x$ s’approche d’une valeur interdite $a$, par la gauche et par la droite.

Programme : limite finie ou infinie d’une fonction en un point · asymptote parallèle à un axe

L’essentiel

Limite infinie en $a$

$\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = +\infty$ si tout intervalle $[A\,;+\infty[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez proche de $a$. On parle de limite à gauche ($x\to a$ avec $xà droite ($x\to a^+$) quand le comportement diffère des deux côtés.

Asymptote verticale

Si la limite de $f$ en $a$ (à gauche ou à droite) est $+\infty$ ou $-\infty$, la droite d’équation $x = a$ est asymptote verticale à la courbe.

Le cas type

$\displaystyle\lim_{x\to 0^-}\frac1x = -\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\frac1x = +\infty$. Quand un dénominateur tend vers $0$, c’est son signe qui décide : on fait un tableau de signes.

Valeur interdite ≠ asymptote

$\dfrac{x^2-1}{x-1}$ n’est pas définie en $1$, mais vaut $x+1$ ailleurs : sa limite en $1$ est $2$, il n’y a pas d’asymptote (un « trou » dans la courbe).

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Méthode

Limite de $\dfrac{3x-1}{x-2}$ en $2$

Numérateur : $\lim_{x\to2} (3x-1) = 5$.
Dénominateur : $x - 2 \to 0$, négatif si $x < 2$, positif si $x > 2$.
Par quotient : $\displaystyle\lim_{x\to2^-} f(x) = -\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to2^+} f(x) = +\infty$. La droite $x = 2$ est asymptote verticale.

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Fiche L3

Les fonctions de référence

Connaître par cœur les limites des puissances, de l’inverse, de la racine carrée et de l’exponentielle.

Programme : limites faisant intervenir les fonctions de référence : puissances entières, racine carrée, fonction exponentielle · démonstration exigible : limites de l’exponentielle en $\pm\infty$

L’essentiel

Fonction	en $-\infty$	en $0$	en $+\infty$
$x^n$, $n$ pair	$+\infty$	$0$	$+\infty$
$x^n$, $n$ impair	$-\infty$	$0$	$+\infty$
$\dfrac1{x^n}$, $n$ pair	$0$	$+\infty$ des deux côtés	$0$
$\dfrac1{x^n}$, $n$ impair	$0$	$-\infty$ à gauche, $+\infty$ à droite	$0$
$\sqrt x$	—	$0$	$+\infty$
$e^x$	$0$	$1$	$+\infty$

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Limites de l’exponentielle en $+\infty$ et en $-\infty$ Démonstration au programme

Étape 1 : $e^x \geqslant x + 1$. Soit $g(x) = e^x - x - 1$. On a $g'(x) = e^x - 1$, négative sur $]-\infty\,;0]$ et positive sur $[0\,;+\infty[$. Donc $g$ admet un minimum en $0$ : $g(0) = 0$. Ainsi $g(x)\geqslant 0$, soit $e^x \geqslant x+1$ pour tout réel $x$.

En $+\infty$. $\lim_{x\to+\infty}(x+1) = +\infty$ et $e^x \geqslant x + 1$ : par comparaison, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} e^x = +\infty$.

En $-\infty$. $e^x = \dfrac{1}{e^{-x}}$. Quand $x\to-\infty$, $-x \to +\infty$ donc $e^{-x}\to+\infty$, et par quotient $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} e^x = 0$.

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Fiche L4

Opérations et formes indéterminées

Appliquer les règles de calcul (les mêmes que pour les suites) et lever les formes indéterminées.

Programme : opérations sur les limites (admises) · factorisation du terme prépondérant

L’essentiel

Mêmes règles que pour les suites

Les tableaux de la fiche S3 (somme, produit, quotient) restent valables pour les fonctions, en $\pm\infty$ comme en un réel $a$. Les quatre formes indéterminées sont les mêmes : $$\infty - \infty \qquad 0\times\infty \qquad \frac{\infty}{\infty} \qquad \frac00$$

Polynômes et fractions rationnelles en $\pm\infty$

En factorisant par le terme de plus haut degré, on obtient : en $\pm\infty$, un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré ; un quotient de polynômes a la même limite que le quotient des termes de plus haut degré. À justifier par la factorisation dans une copie.

Attention en $-\infty$

$x^3 \to -\infty$ quand $x\to-\infty$ (puissance impaire), alors que $x^2\to+\infty$. Exemple : $\lim_{x\to-\infty}(-2x^3 + x) = +\infty$.

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Méthode

En $-\infty$

$f(x) = x^3 - 4x^2 + 1 = x^3\left(1 - \frac4x + \frac1{x^3}\right)$. La parenthèse tend vers $1$ et $x^3 \to -\infty$ : $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x) = -\infty$.

Quotient

$g(x) = \dfrac{4x^2 - x}{2x^2+3} = \dfrac{4 - \frac1x}{2 + \frac3{x^2}}$ pour $x\neq 0$, donc $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty} g(x) = 2$ : asymptote horizontale $y = 2$.

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Fiche L5

Composition de limites

Calculer la limite de $f(u(x))$ en enchaînant deux limites simples.

Programme : « l’utilisation de la composition des limites se fait en contexte »

L’essentiel

Limite d’une fonction composée

$a$, $b$, $c$ désignent des réels ou $\pm\infty$. Si $\displaystyle\lim_{x\to a} u(x) = b$ et si $\displaystyle\lim_{X\to b} f(X) = c$, alors $\displaystyle\lim_{x\to a} f\big(u(x)\big) = c$.

En pratique : on pose $X = u(x)$

Exemple : $\lim_{x\to+\infty} e^{-x^2}$. On pose $X = -x^2$ : quand $x\to+\infty$, $X\to-\infty$. Et $\lim_{X\to-\infty} e^X = 0$. Donc $\lim_{x\to+\infty} e^{-x^2} = 0$.

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Fiche L6

Comparaison et encadrement

Utiliser les gendarmes et la comparaison quand les opérations ne suffisent pas (sinus, cosinus…).

Programme : limites et comparaison · déterminer des limites par majoration, minoration, encadrement

L’essentiel

Comparaison

Si $f(x) \geqslant g(x)$ pour $x$ assez grand et si $\lim_{x\to+\infty} g(x) = +\infty$, alors $\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$. (Analogue avec $-\infty$ et une majoration.)

Théorème des gendarmes

Si $g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)$ pour $x$ assez grand, et si $g$ et $h$ ont la même limite $\ell$ en $+\infty$, alors $\lim_{x\to+\infty} f(x) = \ell$. Valable aussi en $-\infty$ et en un réel $a$.

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Méthode

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}$

Pour $x > 0$ : $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$ donc $-\dfrac1x \leqslant \dfrac{\sin x}{x} \leqslant \dfrac1x$. Les deux bornes tendent vers $0$ : par les gendarmes, la limite vaut $0$.

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Fiche L7

Croissances comparées

Savoir que l’exponentielle finit toujours par « écraser » n’importe quelle puissance de $x$.

Programme : croissances comparées · démonstration exigible : croissance comparée de $x\mapsto x^n$ et de $\exp$ en $+\infty$

L’essentiel

Théorème

Pour tout entier naturel $n$ : $$\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n} = +\infty \qquad\qquad \lim_{x\to-\infty} x^n e^x = 0$$ On retient : en l’infini, l’exponentielle l’emporte sur les puissances.

Conséquence utile

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty} x^n e^{-x} = \lim_{x\to+\infty}\frac{x^n}{e^x} = 0$ (inverse du premier résultat).

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$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n} = +\infty$ Démonstration au programme

Cas $n = 1$. Soit $g(x) = e^x - \dfrac{x^2}{2}$ sur $[0\,;+\infty[$. Alors $g'(x) = e^x - x$, et comme $e^x \geqslant x + 1 > x$ (fiche L3), $g'(x) > 0$ : $g$ est croissante, avec $g(0) = 1 > 0$. Donc $e^x > \dfrac{x^2}{2}$ pour $x \geqslant 0$, et pour $x > 0$ : $\dfrac{e^x}{x} > \dfrac x2$. Comme $\frac x2\to+\infty$, par comparaison $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x} = +\infty$.

Cas général $n\geqslant 1$. Pour $x > 0$, on écrit $\dfrac{e^x}{x^n} = \left(\dfrac{e^{x/n}}{x}\right)^n = \left(\dfrac1n\times\dfrac{e^{X}}{X}\right)^n$ avec $X = \dfrac xn$. Quand $x\to+\infty$, $X\to+\infty$, donc $\frac{e^X}{X}\to+\infty$ (cas $n=1$, par composition), puis la puissance $n$-ième tend vers $+\infty$.

En $-\infty$. On pose $X = -x$ : $x^n e^x = (-1)^n\dfrac{X^n}{e^X} \to 0$ quand $X\to+\infty$.

Méthode

Forme $\infty - \infty$ avec l’exponentielle

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(e^x - x^3)$ : on factorise par le terme le plus fort, $e^x$ : $e^x - x^3 = e^x\left(1 - \frac{x^3}{e^x}\right)$. Par croissance comparée, $\frac{x^3}{e^x}\to 0$, la parenthèse tend vers $1$, donc la limite est $+\infty$.